Les corps célestes

Énoncé

Un astronome a observé au jour \(J_0\) le corps céleste \(A\) , qui apparaît périodiquement tous les \(105\) jours. Six jours plus tard ( \(J_0+6\) ), il observe le corps \(B\) , dont la période d'apparition est de \(81\) jours. On appelle \(J_1\) le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour \(J_1\) .

1. Soit \(u\) et \(v\) le nombre de périodes effectuées respectivement par \(A\) et \(B\) entre \(J_0\) et \(J_1\) . Montrer que le couple \((u;v)\) est solution de l'équation \((E) \colon 35x-27y=2\) .

2. a. Déterminer un couple \((x_0;y_0) \in \mathbb{Z}^2\)  solution de l'équation  \((E') \colon 35x-27y=1\) .
    b. En déduire une solution particulière \((u_0;v_0)\) de \((E)\) .
    c. Déterminer toutes les solutions de \((E)\) .
    d. Déterminer \(J_1\) .

(D'après Bac S, centres étrangers, juin 2001.)